El número 62 del mundo, que hace un año alcanzó el 17º puesto en su carrera, remontó un set en contra y se impuso por 5-7, 6-3, 6-2 y 6-4.
El británico Draper, quinto cabeza de serie, era uno de los grandes favoritos tras una gran temporada en la que ha ganado el título de Indian Wells y alcanzado la final del Masters 1000 de Madrid.
Sin embargo, Bublik tuvo una actuación inspirada y se clasificó para los cuartos de final de Roland Garros, donde se enfrentará al número uno del mundo, Jannik Sinner, o al ruso Andrey Rublev.
Bublik selló la victoria en un dramático último juego, en el que Draper desaprovechó cinco puntos de ruptura, en su segunda bola de partido.