Gasquet, que se retirará después de Roland Garros, jugará su 22ª edición del Abierto de Francia, un récord en su carrera, y tuvo un gran comienzo antes de perder el ritmo, aunque volvió a ponerse por delante cuando su rival sufrió un calambre.
A mediados del tercer set, Atmane gritó de dolor en el cambio de lado, pero no se le concedió el tiempo de descanso médico previsto por el reglamento del torneo.
El resto del partido fue un paseo para el tres veces semifinalista de Grand Slam, que se impuso en su sexto punto de partido.
Ahora se enfrentará al número uno del mundo, el italiano Jannik Sinner, o a su compatriota Arthur Rinderknech.
"Las lesiones me han perturbado, no ha sido fácil para mí estar listo para el torneo, pero estoy aquí e intentaré disfrutar todo lo que pueda", dijo Gasquet.
"Jugaré otro partido el jueves, eso me hace feliz", añadió mientras el público de la Philippe Chatrier coreaba su nombre.
En el cuadro femenino, Caroline Garcia se despidió de Roland Garros con una emotiva derrota en sets seguidos ante la estadounidense Bernarda Pera en primera ronda.
No era el último partido de su carrera, pero las lágrimas rodaron por las mejillas de la francesa, que nunca pasó de cuartos de final en la arcilla parisina.
"La verdad es que no me lo esperaba cuando entré en el pasillo", dijo en rueda de prensa García, que lloró antes de entrar en la pista.
"No sé si fue una sorpresa buena o mala. Pero tenía muchas ganas de vivir intensamente este momento con todas las emociones que iba a tener".
"No sabía cómo iban a salir las cosas, pero fue emocionante prepararme para entrar en la pista, y saber que quizá era mi último partido en Roland Garros. Pero en cualquier caso, me alegré de que fuera en esa pista, en la Suzanne Lenglen, con muchos aficionados".